RSS  

پارادوكسهاى منطقى

به درستی معلوم نیست كه اولین دفعه چه كسی این پارادکس را ابداع كرد، ولی بنا به گفته‌ی کواین - قیلسوف علم مشهور - این مساله قبل از سال 1940 بر سر زبان‌ها افتاده و دهان به دهان می‌گشت و عموماً به صورت  مسأله‌ای تحت عنوان شخص محكوم به مرگ مطرح می‌شد كه اكنون ما به شرح آن می‌پردازیم:

در یك روز جمعه دادگاه شخصی را به مرگ محكوم كرد. قاضی به زندانیِ محكوم گفت:

ظهریكی از روزهای هفته‌ی آینده حكم اعدام درباره‌ی تو اجرا خواهد شد، ولی ما  آنروز را برای تو مشخص نخواهیم كرد و تو هرگز قبل از آن روز اطلاع پیدا نخواهی كرد و فقط شش ساعت قبل یعنی صبحِ روز اجرای حكم موضوع را به تو اطلاع خواهیم داد. قاضیِ مذكور در همه‌ی عالم به ذكاوت و خوش‌قولی مشهور بود و همیشه دقیقاً به گفته‌ی خود عمل می‌نمود.  زندانی به همراهی وكیل مدافع خود به سلولش داخل شد و هر دو غمزده در گوشه‌ای به فكر  فرو رفتند. ناگاه وكیل مدافع با لبخندی پیروزمندانه سكوت را شكست و گفت:   اجرای حكم  قاضی امكان ندارد.

زندانی گفت:   من كه چیزی سردر نمی‌آورم. چرا؟ وكیل مدافع پاسخ داد:

اجازه بده تا درست برایت شرح دهم: مسلماًً آن‌ ها روز جمعه  نمی‌نتوانند تو را اعدام كنند. به دلیلِ اینكه اگر فرضاً بخواهند در روز جمعه‌ی  آینده حكم را  اجرا نمایند. در این صورت تو تمام روزهای هفته و همچنین بعدازظهر  پنج‌شنبه

زنده خواهی بود و چون فقط روز جمعه یعنی یك روز دیگر به مهلت باقی مانده، بعد ازظهر پنج‌شنبه برای تو مسلم خواهد شد كه فردا یعنی روز جمعه و تنها روز آخر  هفته ، حكم اجرا خواهد شد. در نتیجه تو روز اجرای حكم را یك روز پیش‌تر  پیش‌بینی و  قبل از صبح جمعه از آن اطلاع حاصل كرده‌ای و این موضوع نقض حكم قاضی بوده و گفته‌ی  او را بی‌اعتبار خواهد كرد. زندانی گفته‌ی او را تصدیق كرد. وكیل مدافع ادامه داد:  بنابراین روز جمعه‌ی آینده از فهرستِ روزهای مهلت حذف و در  آن روز حكم غیرقابل  اجرا است. و اما روز پنج‌شنبه نیز نمی‌توانند تو را اعدام كنند  چون در بعدازظهرِ چهارشنبه دو روز بیشتر به آخر هفته نمانده و چون روز جمعه از  فهرست حذف شد ، تنها روز پنج‌شنبه آخرین روز اجرای حكم می‌باشد نتیجتاً بعدازظهر  چهارشنبه تو خواهی دانست در روز پنج‌شنبه كه آخرین روز امكان اجرای حكم است، تو  را  اعدام خواهند كرد. اطلاع تو یك روز پیشتر از اجرای حكم مجدداً متناقض با حكم قاضی  است. بنابراین پنج‌شنبه نیز حكم غیرقابل اجرا است. چهارشنبه نیز  امكان اجرای حكم  وجود ندارد چون جمعه و پنج‌شنبه حكم غیرقابل اجرا شد و فقط  چهارشنبه آخرین روز  اجرای حكم تشخیص داده شد و تو كه بعدازظهر سه‌شنبه هنوز  زنده هستی، اجرای حكم روز چهارشنبه را پیش‌بینی خواهی كرد و از آن اطلاع خواهی یافت.

در این موقع كه زندانی از حالت غمزدگی بیرون آمده بود با لبخندی مسرت‌ بخش گفت:

پس  به هر طریق می‌توان گفت كه روز سه‌شنبه و سپس دوشنبه و بالاخره یك‌شنبه نمی‌توانند  مرا اعدام كنند و فقط فردا یعنی شنبه باقی است. و اما فردا نیز اجرای حكم برای آنها غیرممكن است چون در این صورت من امروز موضوع را  خواهم  فهمید.

ملاحظه می‌شود از لحاظ منطقی هیچ تناقضی در حكم قاضی جهت اعدام زندانی وجود ندارد با این وجود حكمش غیرقابل اجرا است. به دلایل بالا به نظر می‌آید كه حكم قاضی باعث نقض حكم خودش شده است، اگر حكم را  اجرا كند خلاف حكم خودش شده است، اگر حكم را اجرا كند خلاف حكم خود عمل كرده و اگر  اجرا نكند باز هم خلاف حكم خود رفتار نموده.

روایت دیگری از این پارادکس  از یك اعلامیه‌ی فرمانده‌ی نظامی گفتگو می‌كند كه در آن ذكر شده:

برای تمرین ، در یكی از شبهای هفته‌ی آینده آژیر خطر كشیده خواهد شد. شب تمرین در  شش بعدازظهر همان روز به اطلاع عامه خواهد رسید و تا شش بعدازظهر كسی از شب موعود  مطلع نخواهد شد. به ظاهر چنین به نظر می رسد که خود این اعلامیه ثابت می‌كند كه تمرین هرگز انجام نخواهد گرفت. به زبان دیگر اجرای تمرین عملی نیست مگر این كه به متن اعلامیه عمل نشود. نظرِ شما چیست؟

ادامه دارد…

 يكى ديگر از انواع پارادوكس هاى منطقى

سقراط گفته است يوناني ها دروغگو هستند ولي خود سقراط هم يوناني است. پس او دروغ گفته که يوناني ها دروغ مي گويند پس يونانيها راستگو هستند و سقراط هم که يک يوناني است، راستگوست پس راست مي گويد که يونانيها دروغگو هستند پس...........آخر يونانيها دروغگواند يا راستگو!؟

پارادوکس اولیرس

پیش از این كه پاسخی به این سوال بدهیم ، اجازه بدهید صورت مساله را یك بار دیگرذكر كنیم، چرا آسمان شب تاریك است؟ اولین كسی كه جرات كرد این سوال بظاهر بچگانه را بپرسد، فیزیكدان آلمانی ، هاینریش ویلهلم اولبرس در سال ۱۸۲۳ بود. سوالی كه از آن پس به پارادوكس اولبرس معروف شد و سالها ذهن فیزیكدان ها و ستاره شناسان را به خود مشغول كرد؛ زیرا جواب سوال برخلاف صورت كودكانه اش ، اصلا مثل روز روشن نیست. ابتدا به نظر رسید گرد و غبار بین ستاره ها می تواند مساله را حل كند. این مواد نور ستاره ها را جذب می كنند و مانع رسیدن آنها به چشم ما می شوند، اما مساله اینجاست كه جذب نور، سرانجام آنقدر دمای گردوغبار را بالا می برد كه آن را به تابش و نور افشانی وامی دارد.

توضیح دوم پای انتقال به سرخ كهكشان ها و ستاره های دور را وسط كشید. می دانیم كه به دلیل انبساط جهان ، همه كهكشان ها در حال دورشدن از ما هستند و این باعث افزایش طول موج پرتوهای تابیده از آنها یا به اصطلاح انتقال به سرخ نورشان می شود. تحت تاثیر این انتقال ، بخش عمده ای از نور مرئی كهكشان های دور به نور مادون قرمز

تبدیل و غیرقابل رویت می شود؛ اما نباید فراموش كرد كه به همین ترتیب بخشی از پرتوهای ماورای بنفش نیز سر از طیف مرئی درمی آورند و اثربخشی اول را تقریبا خنثی می كنند. بهترین توضیحی كه در حال حاضر برای این پارادوكس وجود دارد، شامل ۲ قسمت است:

بخش اول این كه حتی اگر جهان ما بی نهایت بزرگ باشد، بی نهایت پیر نیست. این نكته از آن جهت اهمیت دارد كه سرعت نور محدود است و ما هر اتفاق را تنها بعد از رسیدن نورش می توانیم ببینیم. به عقیده بیشتر ستاره شناسان ، جهان بین ۱۰ تا ۱۵میلیارد سال عمر دارد. بنابراین بیشترین فاصله ای كه ما از آن نور دریافت می كنیم بین ۱۰ تا ۱۵ میلیارد سال نوری است. حتی اگر ستاره ها یا كهكشان هایی در فاصله دورتر از این وجود داشته باشد، چیز از آنها به چشم ما نمی رسد. بخش دوم جواب ، به این واقعیت برمی گردد كه كهكشان ها، عمر لایتناهی ندارند. ستاره ها سرانجام تاریك می شوند و این اثر در كهشكشان های نزدیك به خاطر فاصله نوری كوتاه تر زودتر قابل مشاهده است.

برهم نهی این دو عامل باعث می شود كه ما هیچ وقت نتوانیم نور ستاره های دور و نزدیك را همزمان در همه جهات ببینیم. نور دورترین ستاره ها هنوز به ما نرسیده است ، یا اگر برسد این سفر این قدر طول می كشد كه تعدادی از اجرام نزدیك در این فاصله دار فانی را وداع می گویند و خاموش می شوند. این از تاریك بودن شب. كسی نمی خواهد دلیل روشن بودن روز را بداند؟

پارادکس راسل

لرد برتراند آرتور ویلیام راسل فیلسوف و ریاضیدان انگلیسی (1872-1970) است که از جمله افراد روشنفکر و متفکر عصر خود بود. او برای جلوگیری از آزار زنان و حق تحصیل آنها مبارزات زیادی انجام داده است. همچنین او برنده جایزه نوبل در ادبیات شده است و یک ریاضیدان برجسته بود. او معتقد بود ریاضیات از منطق قابل تفکیک نمی باشد و به این دلیل فکر مدرسه منطق را بنیان گذاشت. او به همراه آلفرد وایتهد تلاش کرد سیستمی را در منطق ابداع کند که ریاضیات مبتنی بر آن باشد. نتیجه این تلاش کتابی به عنوان Principal Mathematics در سه جلد شد. اگر چه بعدها گودل نشان داد که چنین تلاشهایی محکوم به فنا است و چنین سیستمهای منطقی کار آمد نخواهند بود.

نامه ای که راسل به همکار خود فرگه فرستاده است بسیار مشهور است او این نامه را در بهار سال 1901 هنگامی که فرگه روی اثر خود یعنی اصول ریاضیات کار می کرد فرستاد که در آن نامه پارادکسی را مطرح کرد که بعدها به نام پارادکس راسل شناخته شد و میتوان گفت از مشهور ترین پارادکس های تاریخ ریاضیات است. پارادوکس او چنین بود: آیا مجموعه همه مجموعه هایی که عضو خودشان نمی باشند عضوی از خودش است یا نه؟!

به عبارت دیگر مجموعه‌ی R را مشتمل بر همه‌ی مجموعه‌هائی در نظر بگیرید که عضو خودشان نیستند.یعنی:

حال آیا R عضوی از خودش است یا خیر؟

1- اگر R عضوی از خودش باشد، پس واجد شرایط اعضای R است، یعنی عضو خودش نیست!

2- اگر R عضوی از خودش نباشد، پس واجد شرایط اعضای R نیست، یعنی عضو خودش است!!

این‌جا نیز روشن نیست که در نهایت این مجموعه (یعنی R) عضو خودش هست یا خیر؟

صورتهای گوناگونی از این پارادکس وجود دارد به عنوان مثال یک شکل ساده آن به این صورت است:

«فرض کنید که در یک شهر آرایشگری وجود دارد که فقط و فقط سر کسانی را اصلاح می‌کند که خودشان سر خود را اصلاح نمی‌کنند، به علاوه هر کسی که خودش سر خود را اصلاح نمی‌کند، سرش را پیش این آرایشگر اصلاح می‌کند! حال به عقیده‌ی شما این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح می کند یا خیر؟ پاسخ بسیار حیرت انگیز است:

اگر این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح نکند، پس در زمره‌ی افرادی که سر خودشان را خود اصلاح نمی‌کنند قرار دارد، و در نتیجه سر خودش را اصلاح می‌کند!  اگر این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح کند، پس در زمره‌ی افرادی که سر خودشان را اصلاح نمی کنند قرار ندارد، و در نتیجه سر خودش را اصلاح نمی کند!

و در حقیقت روشن نیست که در نهایت این آرایشگر با سر خود چه می‌کند! اصلاحش می کند یا خیر؟

شاید بتوان گفت این پارادکس مشهور ترین پارادکس تاریخ ریاضیات است. این پارادکس منجر به تحولات بسیار زیادی در منطق ریاضیات و فلسفه (ریاضی و غیر آن) شد. یکی از مهمترین این تحولات تغییر نگرش ریاضی‌دانان نسبت به مفهموم مجموعه بود، چرا که راسل نشان داد علت مواجه با این پارادکس، تعریف ناسازگاری است، که از مفهوم مجموعه در ذهن ریاضی‌دانان وجود دارد.