هندسه
هِندِسه مطالعه انواع روابط طولی و اشکال و خصوصیات آنها است. این دانش همراه با حساب یکی از دو شاخه قدیمی ریاضیات است. واژه هندسه عربی شده واژه «اندازه» در فارسی است. در زبان انگلیسی به آن geometry و در زبان فرانسه به آن géométrie میگویند که هردو از γεωμετρία (گئومتریا) در زبان یونانی آمده که به معنای اندازهگیری زمین است.
تاریخچه هندسه
احتمالاً بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان میکرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا میگرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین میبرد و لازم میشد دوباره هر کس زمین خود را اندازهگیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامتگذاری زمینها با تیرک و طناب را ابداع کردند. آنها تیرکی را در نقطهای مناسب در زمین فرو میکردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب میشد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص میساخت به یکدیگر متصل میشدند. با دو تیرک دبگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص میشد.
در آغاز هندسه برپایه دانستههای تجربی پراکندهای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم میشد. بعضی از این دانستهها بسیار پیشرفته بودند مثلاً هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث میشناختند. یونانیان دانستههای هندسی را مدون کردند و بر پایهای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه مهمترین دانشها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی میدانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه بهشمار میرود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیه هندسی را به صورت استنتاجی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. روش استنتاجی روشی است علمی (بر خلاف روش استقرایی) که در آن مسالهای به وسیلهی قضایا و حکمها ثابت می گردد. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالاً از شاگردان
طالس بود توانست قضیهای را که بهنام او مشهور است اثبات (ریاضی) کند. البته او واضع این قضیه نبود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی میکرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آنها را به طور منظم، در یک مجموعه ۱۳ جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه
هندسه به کار میرفتند. براساس این قوانین، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان میگذشت، شاخههای دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه مییافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه میکنیم.خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (572-500 ق.م) و زنون (490 ق.م.) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند. در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلیها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست میداد و این قدیمیترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است. بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سده پنجم میلادی آپاستامبا، در سده ششم، آریابهاتا، در سده هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.
تقسیم بندی هندسه
هنـدسه مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم میگردد:
هنـدسه مسطحه
هندسه فضائی
هندسه خطی.
در هندسه مسطحه، اشکالی مورد مطالعه قرار میگیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعبها ،استوانه ها، مخروط ها، کرهها و غیره است.
هندسه فضایی
هندسه فضایی (Solid geometry) به هندسه اقلیدسی در فضای سه بعدی اطلاق میشود. فضایی که در آن جدا از طول و غرض، ارتفاع نیز وجود دارد. هندسه ی فضایی تا حدود زیادی نیاز به تصورات بالا دارد. کل جهان اطراف ما به صورت سه بعدی و فضایی است. هر حجمی را که می شناسید باید ویژگیهایش در مبحث هندسه ی فضایی محاسبه شود. اشکالی چون کره، مخروط و استوانه از این دسته هستند.
هندسه مطلق
هندسه مطلق((Absolute geometryبه هندسهیی که بدون اصل توازی و صرفاً بر اساس چهار اصل اول اقلیدس اثبات میشوند. نام هندسهٔ مطلق را برگزید. اما امروزه به این هندسه، بیشتر هندسه نتاری میگویند.
هندسه هذلولوی
هندسه هذلولوی یکی از هندسههای نا اقلیدسی است که به هندسه لباچفسکی نیز مشهور است. نام انگلیسی این نوع هندسه, یعنی (Hyperbolic), از کلمهٔ یونانی هیپربالئین به معنی "افزایش یافتن" گرفته شده است که در آن فاصلهٔ میان نیمخطها در اصل توازی افزایش مییابد.
هندسه نتاری
اقلیدس 28 قضیه نخست اصول خود را بر اساس چهار اصل موضوع نخست اثبات کرد و از قضیه 29 بود که استفاده از اصل پنجم آغاز میشود. در واقع پس از آن که اصل توازی موجب انشقاق هندسه شد ریاضیدانها هندسهٔ بدون استفاده از اصل توازی ابداع کردند که به آن هندسهٔ نتاری میگویند. اگر به خواهیم بر اساس "مبانی هندسه" هیلبرت تعریف خود را گسترش دهیم. هندسهٔ نتاری مربوط به آن قضایای میشود که با استفاده از بنداشتهای وقوع، میانبود، قابلیت انطباق و پیوستگی و بدون استفاده از بنداشت توازی ثابت شوند. یانوش بویویی به این نوع هندسه، هندسهٔ مطلق میگفت اما و. پرنوویچ و م. جردن نام نتاری را برای آن برگزیدند.
هندسه نااقلیدسی
هندسه نااقلیدسی هندسههایی که اقلیدسی نیستند از مطالعهٔ عمیقتر موضوع توازی در هندسهٔ اقلیدسی پیدا شدهاند. دو نیمخط موازی عمود بر پاره خط PQ را در نظر بگیرد. در هندسهٔ اقلیدسی فاصلهٔ (عمودی) بین دو نیمخط هنگامی که به سمت راست حرکت میکنیم فاصلهٔ p تا Q باقی میمانند؛ ولی در اوایل سدهٔ نوزدهم دو هندسهی دیگر پیشنهاد شد. یکی هندسهٔ هذلولوی (از کلمهٔ یونانی هیپربالئین به معنی "افزایش یافتن") که در آن فاصلهٔ میان نیمخطها افزایش مییابد و دیگری هندسهٔ بیضوی (elliptic geometry) (از کلمهٔ یونانی ایپلن "کوتاه شدن") که در آن فاصله رفته رفته کم میشود و سرانجام نیمخطها همدیگر را میبرند. این هندسهٔ نااقلیدسی بعدها توسط ک.ف. گاوس و گ. ف. ب. ریمان در قالب هندسهٔ کلیتری بسط داده شدند. (همین هندسهٔ کلیتر است که در نگرهٔ نسبیت عام اینشتاین مورد استفاده قرار گرفته است.)
هندسه اقليدسی
هندسه اقلیدسی همان هندسهیی است که در دوران دبیرستان آموختهایم و شاید تصور میکنیم تنها هندسهٔ موجود است. این هندسه را نخستین بار اقلیدس در 300 سال قبل از میلاد در کتاب اصول خود تدوین کرد.
تاریخچه
در حدود 300 سال قبل از میلاد دنیای هندسه در تب و تاب بود. نظرات مختلفی در زمینهٔ هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب اصول بنیادی را بنا نهاد که تا قرنها منسجمترین بنیادهای نظری بشر محسوب میشود. روش اقلیدس ساده بود او چند اصل موضوع و چند اصل متعارف را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آنها بسیار دور از ذهن بودند. اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود. او در اصول سیزده جلدی خود تمام دانش بشری تا آن زمان گرد آورد و به مدت دو هزار سال مرجعی بیبدیل باقی ماند. روش بنداشتی (اصل موضوع) اقلیدس منجر به کاربرد الگویی شد که امروزه به آن ریاضیات محض میگوییم. محض از این نظر که با اندیشهٔ محض سر و کار دارد و از راه آزمون خطا و تجربه به دست نمیآید و درستی یا نادرستی احکام آن را نیز از راه تجربه نمیتوان اثبات یا نفی کرد. برای استفاده از روش بنداشتی یا اصل موضوع دو شرط را باید پذیرفت:
شرط اول: پذیرفتن احکامی به نام بنداشت یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.
شرط دوم: توافق بر اینکه کی و چگونه حکمی "به طور منطقی" از حکم دیگر نتیجه میشود، یعنی توافق در برخی قواعد استدلال.
کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بینیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دستچین کرد، و از آنها 465 گزاره نتیجه گرفت. زیبایی کار اقلیدس در این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت.
اصول موضوع اقلیدس
از هر نقطه به هر نقطه دیگر میتوان یک و فقط یک خط راست عبور داد.
خط راست محدود را میتوان تا به هر اندازه که بخواهیم ادامه دهیم.
با هر مرکز میتوان دایرهای به شعاع دلخواه رسم کرد.
تمام زوایای قائمه با هم برابر اند. (اصل موضوع چهارم اقلیدس)
اگر دو خط راست به وسیلهٔ یک خط سوم قطع شوند، در همان طرفی از خط سوم که زوایای داخلی، کوچکتر از دو قائمه تشکیل میدهند یکدیگر را قطع میکنند. (اصل توازی اقلیدس)
اصول متعارفی
دو مقدار مساوی بامقدار سوم با هم مساوی اند.
اگر به دو مقدار مساوی مقادیر مساوی اضافه کنیم، حاصل جمعها با هم مساوی اند.
اگر از دو مقدار مساوی مقادیر مساوی کم کنیم، باقیماندهها با هم مساوی اند.
دو چیز قابل انطباق با هم برابر اند.
کل از جزء بزرگتر است.
پس از اقلیدس
2100 سال پس از اقلیدس هندسهٔ او یگانه هندسهٔ موجود بود. با این وجود در طی این مدت طولانی ریاضیدانهای زیادی کوشیدند اصل پنجم را از روی سایر اصل اثبات کنند که این کوششها سرانجام به نتیجهٔ دیگری منجر شد و در اوایل قرن نوزدهم هندسههای جدیدی به وجود آمد که هندسههای نااقلیدسی نامیده میشود. هندسهیی که تنها بر اساس چهار اصل اول اقلیدس ساخته میشود هندسه نتاری نامیده میشوند. دیوید هیلبرت در آخرین سال قرن نوزدهم (1899) کتاب "مبانی هندسه" خود را نوشت. هیلبرت در این کتاب صورتبندی دقیقتری از هندسهٔ اقلیدسی ارائه دارد.
|
+| نوشته شده توسط
احمد اقا در سه شنبه 20 فروردین1387
